Buck变换器的基本关系式

1 连续导电模式(CCM)的基本关系式
(1) 能量传输过程分析
CCM时，Buck变换器工作波形如图1所示，其工作过程可分为两个阶段： 1) 第一阶段(0~t1)：开关管VT于t=0时刻开通，并保持通态直到t1时刻。在这一阶段，二极管VD承受反向电压而关断；而电感L充电，输入电能通过电感传输到负载。
电感两端的电压V_L＝V_i-V_o，电容电流i_C＝i_L-I_O。由图1中电感的电压、电流波形可看出：电感电流i_L线性上升，上升率为(V_i-V_o)/L。当i_L<I_o时，电容C和电感L同时给负载R_L供电，电容处于放电状态，输出电压减小；直到电感电流上升到i_L>I_O后，电感L给负载R_L和电容C供电，电容处于充电状态，输出电压增加，输入电能通过电感分别传递给负载R_L和电容C。
2) 第二阶段(t1~t2)：开关管VT于t1时刻关断，由于电感L的电流i_L不能突变，二极管VD导通续流，电感处于放电状态，电感电流线性减小。
在此阶段，电感两端所承受的电压V_L为V_O，电感电流i_L线性下降，其下降率为V_O/L。电容电流i_C＝i_L-I_O，当i_L >I_O时，电感L给负载RL和电容C供电，电容处于充电状态，电感能量同时传递给负载R_L和电容C，输出电压增加；直到电感电流下降到i_L <I_O后，电容C和电感，L同时给负载R_L供电，电容处于放电状态，输出电压减小，该过程一直持续到t2时刻开关管再次开通。 (2) 主要参数之间的关系
1) 输出电压与输入电压之间的关系：电感上的电流、电压波形如图2所示。显然，变换器开关导通时间为Ton，而关断时间为Toff，假设开关周期为T，则称开关导通时间与开关周期之比为开关导通比或占空比，用d表示，即有 显然，d<1。
在开关导通期间(Ton=dT内)，电感两端的电压为Vi-V_O；在开关关断期间(Toff=(1-d)T)内，电感两端的电压为V_O，则根据伏秒平衡可得 由于d<1，所以V_O<Vi，因此Buck变换器是降压变换器。可见，Buck变换器相当于一个直流变压器，通过控制开关的占空比，就可得到所要求的直流电压。
2) 输出电流与输入电流之间的关系：如果忽略电路所有损耗，则输入功率Pi等于输出
功率P_O，即 故有 由上式可知，输入电流平均值Ii与输出电流I_O呈线性关系。
3) 电感的峰值电感电流和最小电流：Buck变换器的电感总是位于输出端；又根据电容器的安秒平衡——电容在一周期内的平均电流等于零(稳态时)，因此可得电感电流在一周期内的平均值等于输出平均电流，即 则由图2可得电感峰值电流I_LP为 电感电流的纹波ΔiL为 则电感最小电流I_LV为 2．不连续导电模式(DCM)的基本关系式
(1) 能量传输过程分析
DCM时，电路工作波形如图3所示，其能量传输过程可分为三个阶段： 1) 第一阶段(0~t1)：在这一阶段，开关管VT于t=0时刻开通，并保持导通直到t1时刻，二极管VD承受反向电压，处于断态，而电感L充电，输入电能通过电感传输到负载。与CCM不同的是，每一开通周期电感电流从零开始增加。
与CCM时一样，此阶段电感两端的电压入V_L＝V_i-V_o，电感电流i_L线性上升，上升率为((Vi-Vo)/L；电容电流i_C＝i_L-I_O，当i_L<I_o时，电容C和电感L同时给负载R_L供电，电容处于放电状态，输出电压下降。直到电感电流上升到i_L>I_o后，电感L同时给负载R_L和电容C供电，电容处于充电状态，输出电压增加。
2) 第二阶段(t1~t2)：开关管VT于t1时刻关断，由于电感L的电流i_L不能突变，二极管VD承受正向偏压导通续流，电感处于放电状态，电感电流线性减小。
电感两端所承受的电压V_L为V_O，电感电流i_L线性下降，下降率为V_O/L，电容电流i_C＝i_L-I_O，在此阶段，当i_L >I_O时，电感L给负载R_L和电容C供电，电容处于充电状态，输出电压线性增加，直到电感电流下降到i_L <I_O后，电容C和电感L向时给负载R_L供电，电容处于放电状态，输出电压减小。此阶段一直持续到(t2时刻)i_L＝0。
3) 第三阶段(t2~t3)：此阶段从t2时刻开始，电感电流已下降到零，并在下个开通周期到来前一直保持为零，二极管VD关断。电感两端所承受的电压V_L＝0，电容上的电流i_C＝I_O，负载电流完全由电容提供。输出电压继续线性下降，直到t3时刻开关管再次开通。
(2)主要参数之间的关系 1) 输出电压与输入电压之间的关系：在DCM时，电感上的电流电压波形如图4所示。从开关关断到电感电流下降到零的时间为t2~t1，将这段时间与开关周期之比用d’来表示，即有 显然，0<d’<(1-d)。
在开关导通期间(Ton=dT内)，电感两端电压为Vi-Vo；开关关断后，在d’T期间，电感两端的电压为Vo，根据伏秒平衡可得 考虑到在稳态条件下，I_L=I_O，则电感电流在一个开关周期的平均值为 2) 输出电流与输入电流之间的关系：如果忽略电路的损耗，则输入功率Pi等于输出功率PO即V_iI_i=V_OI_O，考虑到上式可得 3) 峰值电感电流的表达式：由图4可以看出峰值电感电流就等于电感电流纹波Δi_L，即 由于在DCM时，电感较小，所以其峰值电感电流较大。
3 Buck变换器的临界条件和临界电感
对于给定的开关频率、负载电阻及输入和输出电压，Buck变换器的工作模式仅取决于电感，下面将分析临界条件并推导得出CCM和DCM的临界电感。
在开关关断期间，电感电流将线性下降，而且电感电流下降的速度与电感的取值有关，电感越小，下降速度越快，反之下降速度减缓。由此可推断出：如果电感较小时，在开关关断期间，电感电流就已降到零，对应DCM；而电感较大时，在开关关断结束后，电感电流仍未降到零，对应CCM，因此，Buck变换器的CCM和DCM两种工作模式之间存在一个临界电感。将开关关断结束时刻电感电流刚好下降到零时所对应的电感称为临界电感，此时的
工作状态称为临界状态。临界状态时电感的电压电流波形如图5所示 对照图2和图5可得，临界状态时对应的电感电流最小值I_LV正好为零，因此，根据上式，令I_LV=0，可得CCM和DCM的临界电感L_C为 当L>L_C时，Buck变换器处于CCM；而当L<LC时，Buck变换器处于DCM。
由因2、因4和图5可看出：各种工作模式时，电感纹波电流和输出电流之间的关系如下：
1) 连续工作模式：
2) 临界工作模式：
3) 断续工作模式：
可见，对于给定的输出电流，电感纹波电流在DCM时较大，而在CCM时较小。